Математико-картографическое моделирование

Формализованное картографическое изображение хорошо приспособлено для математического анализа. В принципе почти все разделы математики применимы для обработки и анализа картографического изображения. Проблема лишь в том, чтобы точно подобрать математическую модель и, главное, дать надежное содержательное истолкование результатам моделирования. Достаточно прочно в картографический анализ вошли некоторые разделы численного анализа, многомерной статистики, теории вероятностей и теории информации. Аппроксимации. Под аппроксимациями в математике понимают замену (приближение) сложных или неизвестных функций другими, более простыми функциями, свойства которых известны. Любую сложную поверхность (поле), изображенную на изолинейной карте, можно аппроксимировать, т.е. приближенно представить в виде некой аппроксимирующая функции, с каким-то остатком, не поддающимся аппроксимации. Функцию можно далее разложить в ряд, представив уравнение поверхности с компонентами разложения, которые предстоит определить. В общем случае для этого с аппроксимируемой карты снимают ряд значений, после чего составляют систему уравнений, решаемых совместно по способу наименьших Существуют разные способы аппроксимации. Это обычные алгебраические многочлены, ортогональные многочлены Чебышева и Лежандра, которые определенным образом упрощают вычисления, сплайн-функции и др. Не останавливаясь на особенностях математического аппарата, отметим, что во всех случаях задача сводится к тому, чтобы аппроксимирующее уравнение наилучшим образом описывало исходную поверхность, а сумма квадратов отклонений была бы минимальна. Тригонометрические функции позволяют описывать сложные, сильно расчлененные поверхности, а сферические функции применяют, если при вычислениях нельзя пренебречь кривизной земной поверхности. В исследовательской практике аппроксимации используют для аналитического описания поверхностей (полей), изображенных на картах, и выполнения с ними различных действий: суммирования, вычитания, интегрирования и дифференцирования, для подсчета объемов тел, ограниченных этими поверхностями, и решения множества других задач. Одно из направлений использования аппроксимаций — разложение поверхностей на составляющие, что позволяет выделять и анализировать нормальные и аномальные факторы развития и пространственного размещения явлений. Приемы математической статистики. Эта группа приемов математико-картографического моделирования предназначена для изучения по картам пространственных и временных статистических совокупностей и образуемых ими статистических поверхностей. Статистический анализ картографического изображения преследует главным образом три цели:

а) изучение характеристик и функций распределения явления;

б) изучение формы и тесноты связей между явлениями;

в) оценка степени влияния отдельных факторов на изучаемое явление и выделение ведущих факторов.

В основу всякого статистического исследования кладется выборка, т.е. некоторое подмножество однородных величин, снятых с карты по регулярной сетке точек (систематическая выборка), в случайно расположенных точках (случайная выборка), на ключевых участках (ключевая выборка) или по районам (районированная выборка). Выборочные данные группируют по интервалам, составляют гистограммы распределения и затем вычисляют различные статистики — количественные показатели, характеризующие пространственное распределение изучаемого явления. Наиболее употребительные показатели — среднее арифметическое, среднее взвешенное арифметическое, среднее квадратическое, дисперсия, вариация и др. Кроме того, с помощью специальных показателей (критериев согласия) можно оценить соответствие данного конкретного распределения тому или иному теоретическому закону распределения. Другая типичная исследовательская задача — оценка взаимосвязи между явлениями — решается с помощью хорошо разработанного в математической статистике аппарата теории корреляции. Для этого необходимо иметь выборки по сравниваемым явлениям, показанным на картах разной тематики (например, А и В). Значения а. и Ь. берут в одних и тех же точках, т.е. строго скоординировано, и затем строят график поля корреляции. Если поле корреляции может быть аппроксимировано прямой, которая называется линией регрессии, то приступают к вычислению коэффициента парной корреляции(r). Его числовые значения заключены в интервале от минус одного до плюс одного. При r равном +1 или —1 существует функциональная прямая или обратная связь. Если r близок к 0, то связь между явлениями отсутствует, а при r = модулю 0.7 связь считается существенной. Для оценки взаимосвязи явлений в случаях, когда трудно или невозможно получить большие выборки, используют другой показатель ранговый коэффициент корреляции фи. По смыслу у аналогичен коэффициенту парной корреляции. При этом не требуется больших объемов выборки. К тому же не нужны точные количественные значения а. и Ьп достаточно знать их ранги. Все это удобно для работы с картограммами, где используются интервальные шкалы, а объем выборки ограничен числом административных районов. Аппарат теории корреляции достаточно разнообразен, в нем есть показатели, удобные для анализа взаимосвязей по картам ареалов (где явления характеризуются только двумя состояниями: «есть» и «нет»), по картам качественного фона (где каждое явление имеет много состояний, но не охарактеризовано количественно). Существуют коэффициенты для расчета криволинейных зависимостей и связей между тремя явлениями (коэффициенты множественной корреляции) и т.п. Расчет корреляций дает основу для более сложных видов анализа: регрессионного, дисперсионного, факторного и др. Часто при исследованиях ставится задача выделить основные факторы, определяющие развитие и размещение того или иного явления. Эту задачу решает многомерный факторный анализ. Он позволяет свести к минимуму (к трем-четырем главным факторам) большие совокупности исходных показателей, характеризующих сложное явление. Приемы теории информации. Эти приемы используют для оценки степени однородности и взаимного соответствия явлений, изучаемых по картам. Речь идет об основной функции теории информации — энтропии. В термодинамике энтропия характеризует степень беспорядка в физической системе, в теории связи — степень неопределенности передаваемых сообщений, а в картографическом анализе эта функция оказалась довольно удобной для оценки степени однородности неоднородности (разнообразия) картографического изображения.

Энтропией некоторой системы  называется сумма произведений вероятностей различных состояний этой системы на логарифмы вероятностей, взятая с обратным знаком. В теории информации принято брать логарифмы вероятностей при основании 2, что связано с двоичной системой счисления. Смысл функции не изменится, если пользоваться десятичными или натуральными логарифмами. Функция остается неотрицательной, она обращается в нуль, когда на карте изображен только один контур или выдел (т.е. изображение совершенно однородно), и монотонно возрастает с увеличением числа контуров п. Это свойство функции энтропии позволяет количественно характеризовать неоднородность картографического изображения, понимаемую как разнообразие контуров и неравномерность их распространения по площади. Кроме того, информационные функции используют для оценки степени взаимного соответствия (совпадения) контуров на разных картах. В этом случае они выполняют роль своеобразных показателей взаимосвязи явлений наподобие коэффициентов корреляции.